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Analyse numérique (Printemps 2019)

Informations générales

Enseignant

Thomas Lessinnes

Assistant

Niccolò Discacciati

Horaire

Cours: vendredi de 10h15 à 12h00 en CO2
Exercices: mardi de 08h15 à 10h00 on CO020, CO021 et CO023.

Résumé

Le cours présente des méthodes numériques pour la résolution de problèmes mathématiques comme des systèmes d'équations linéaires ou non linéaires, approximation de fonctions, intégration et dérivation, équations différentielles.

Matlab

Les exemples du cours ainsi que de nombreux exercices seront écrits en Matlab. Les étudiants de l'EPFL peuvent obtenir le logiciel ici (depuis le campus de l'EPFL). De plus vous pouvez aussi compulser une excellente introduction à Matlab qui a été rédigée par Prof. F. Nobile.

Cours prérequis

Analyse I, analyse II, analyse III et algèbre linéaire.

Contenu

  • Approximation polynomiale par interpolation et moindres carrés.
  • Intégration et dérivation numérique.
  • Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires.
  • Méthodes itératives pour systèmes d'équations linéaires et non linéaires.
  • Approximation numérique des équations différentielles.
  • Introduction à l'utilisation du logiciel MATLAB/OCTAVE.

Résumé par semaine de cours

Cours 1 (23.02) Chapitre 1: Résolution d'équations non-linéaires Méthode de la bissection et analyse de l'erreur. Méthode du point fixe, analyse d'erreur pour les méthodes d'ordre 1 et critère de convergence. Résidus et ordre d'une méthode numérique. Critère d'arrêt.
Cours 2 (02.03) Discussion de l'ordre d'une méthode. Analyse de l'erreur pour les méthodes de point fixe d'ordre p>1. Méthode de Newton. Preuve que la méthode de Newton est une méthode de point fixe d'ordre 2 et conséquence pour le critère d'arrêt. Méthode de Newton pour les fonctions de R^n dans R^n.
Cours 3 (09.03) Chapitre 2: Approximation de fonctions et de données. 1. Interpolation. 1.1 Interpolation polynomiale. Matrice de Vandermonde. Polynômes de Lagrange. Analyse d'erreur. (Non-)stabilité de l'interpolation polynomiale sur des noeuds équirépartis. Les noeuds de Chebyshev. 1.2 Interpolations par morceaux. 1.2.1 Interpolation linéaire par morceaux. Définition et analyse d'erreur.
Cours 4 (16.03) 1.2.2. Interpolation par spline cubiques. 2. Optimisation: la méthode des moindres carrés. 2.1 Régression linéaire. 2.2 Comment ajuster un modele qui s'écrit comme une combinaison linéaire de fonctions connues. 2.3 Ajuster un modèle: le cas général. Appendice I: les nombres à virgule flottante.
Cours 5 (19.03) Chapitre 3: Différentiation et intégration numériques 1. Approximation des dérivées. 1.1 Différences finies prorgressive et rétrograde. 1.2 Différences finies, le cas général. Formules aux différences finies, formules consistantes, ordre d'une formule. 1.3 Erreurs d'arrondis 2. Intégration numérique. 2.1 Forumle du point milieu 2.2 Formule du trapèze. 2.3 Formule de Simpson.
Cours 6 (29.03) Chapitre 4: Systèmes linéaires Factorisation LU et lien avec la méthode d'élimination de Gauss. Factorisation LU avec pivot. Factorisation de Cholesky. Occupation de mémoire et fill in.
Cours 7 (20.04) Norme et conditionnement d'une matrice. Erreur d'arrondi sur la solution du systeme A x = b. Systèmes sur-déterminés: la factorisation QR.
Cours 8 (27.04) Méthodes itératives. Méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel et de Richardson. Méthodes du gradient, du gradient préconditionné et du gradient conjugué.

Exercices

Exercices Corrigés

Voici les données pour la série d'exercices 6.

Examen

L'examen de l'année passée est disponible ici.

Bibliographie