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Analyse IV (Printemps 2019)

Informations générales

Enseignant

Thomas Lessinnes

Assistant

Giulio Corazza

Horaire

Cours: lundi de 13h15 à 15h00 en SG1
Exercices: mardi de 13h15 à 15h00 en ELD020, CM010, CM1104 et CM105.

Résumé

Introduce notions of complex analysis (Laurent's series, residues theorem, etc.). Application to Fourier and Laplace transforms. Introduction to distributions.

Cours prérequis

Analyse I, analyse II, analyse III et algèbre linéaire.

Contenu

  • Fonctions holomorphes
  • Théorie de Cauchy
  • Séries de Laurent
  • Théorème des résidus.
  • Transformée de Fourier.
  • Transformée de Laplace.
  • Équation de Laplace.
  • Introduction aux distributions.

Résumé par semaine de cours

Cours 1 (18.9) Partie I: Analyse complexe 1. Les nombres complexes: définitions et représentation polaire. 2. Les fonctions complexes: courbes complexes, fonctions complexes, interpretation des fonctions complexes comme applications et comme champs de vecteurs, Exp et Log, quelques fonctions usuelles. Des exemples de visualisation de fonction complexes sont disponibles ici. Un rappel d'algèbre est disponible ici.
Cours 2 (25.9) 3. Suites, convergence et limite: suite convergente, suite de Cauchy, limite de fonction, continuité de fonction. 4. Dérivée complexe, fonction holomorphes et relations de Cauchy-Riemann: définitions, exemples et contre-exemples, règles de calcul, proposition de Cauchy-Riemann (avec preuve détaillée), matrice jacobienne d'une fonction holomorphe et interprétation géométrique de la dérivée. 5. Dérivée d'une courbe complexe. La section 6 des notes n'a pas été détaillée au cours.
Cours 3 (04.03) 7. Primitives et intégrales Définition de la primitive. Intégrale d'une courbe complexe sur un intervalle. Intégrale d'une fonction complexe le long d'une courbe. Opérateur différentiel. L'intégrale le long d'une courbe ne dépend que des points initial et final ssi la fonction intégrée est la dérivée d'une fonction holomoprhe. Si f est la dérivée d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe D, alors l'intégrale de f le long de toute courbe fermée dans D s'annule.
Cours 4 (11.03) 8. La théorie de Cauchy Théorème de Cauchy sur le bord d'un domaine. Généralisation au cas où il y a des singularités régulières dans le domaine. Formule intégrale de Cauchy. Formule intégrale pour les dérivées d'ordre supérieur. 9. Propriétés locales des fonctions holomorphes Prolongement en une singularité régulière. Développement fini de Taylor. Les zéros d'une fonction holomorphe. Si une fonction holomorphe et toutes ses dérivées sont nulles en un point, alors la fonction est nulle dans la composante de son domaine qui est connexe à ce point. Les zéros d'une fonction holomorphe non uniformément nulle sont isolés et ils ont un ordre. Si deux fonctions holomorphes sont égales sur un ensemble ayant un point d'accumulation, alors elles sont égales en tout point de la composante de leur domaine qui est connexe à ce point d'accumulation.
Cours 5 (18.03) Les pôles d'une fonction holomorphes. Les trois types de singularités. 10. Séries complexes Convergence et convergence absolue. Series de puissances et leur convergence dans un disque. Les séries de puissances convergent absolument, définissent des fonctions holomorphes et peuvent se dériver terme à terme. 11. Développement en série de Taylor

Exercices

Exercices Corrigés

Examen

L'examen de l'année passée est disponible ici.

Bibliographie