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Analyse IV (Printemps 2019)

Informations générales

Enseignant

Thomas Lessinnes

Assistant

Giulio Corazza

Horaire

Cours: lundi de 13h15 à 15h00 en SG1
Exercices: mardi de 13h15 à 15h00 en ELD020, CM010, CM1104 et CM105.

Résumé

Introduce notions of complex analysis (Laurent's series, residues theorem, etc.). Application to Fourier and Laplace transforms. Introduction to distributions.

Cours prérequis

Analyse I, analyse II, analyse III et algèbre linéaire.

Contenu

  • Fonctions holomorphes
  • Théorie de Cauchy
  • Séries de Laurent
  • Théorème des résidus.
  • Transformée de Fourier.
  • Transformée de Laplace.
  • Équation de Laplace.
  • Introduction aux distributions.

Résumé par semaine de cours

Cours 1 (18.9) Partie I: Analyse complexe 1. Les nombres complexes: définitions et représentation polaire. 2. Les fonctions complexes: courbes complexes, fonctions complexes, interpretation des fonctions complexes comme applications et comme champs de vecteurs, Exp et Log, quelques fonctions usuelles. Des exemples de visualisation de fonction complexes sont disponibles ici. Un rappel d'algèbre est disponible ici.
Cours 2 (25.9) 3. Suites, convergence et limite: suite convergente, suite de Cauchy, limite de fonction, continuité de fonction. 4. Dérivée complexe, fonction holomorphes et relations de Cauchy-Riemann: définitions, exemples et contre-exemples, règles de calcul, proposition de Cauchy-Riemann (avec preuve détaillée), matrice jacobienne d'une fonction holomorphe et interprétation géométrique de la dérivée. 5. Dérivée d'une courbe complexe. La section 6 des notes n'a pas été détaillée au cours.
Cours 3 (04.03) 7. Primitives et intégrales Définition de la primitive. Intégrale d'une courbe complexe sur un intervalle. Intégrale d'une fonction complexe le long d'une courbe. Opérateur différentiel. L'intégrale le long d'une courbe ne dépend que des points initial et final ssi la fonction intégrée est la dérivée d'une fonction holomoprhe. Si f est la dérivée d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe D, alors l'intégrale de f le long de toute courbe fermée dans D s'annule.
Cours 4 (11.03) 8. La théorie de Cauchy Théorème de Cauchy sur le bord d'un domaine. Généralisation au cas où il y a des singularités régulières dans le domaine. Formule intégrale de Cauchy. Formule intégrale pour les dérivées d'ordre supérieur. 9. Propriétés locales des fonctions holomorphes Prolongement en une singularité régulière. Développement fini de Taylor. Les zéros d'une fonction holomorphe. Si une fonction holomorphe et toutes ses dérivées sont nulles en un point, alors la fonction est nulle dans la composante de son domaine qui est connexe à ce point. Les zéros d'une fonction holomorphe non uniformément nulle sont isolés et ils ont un ordre. Si deux fonctions holomorphes sont égales sur un ensemble ayant un point d'accumulation, alors elles sont égales en tout point de la composante de leur domaine qui est connexe à ce point d'accumulation.
Cours 5 (18.03) Les pôles d'une fonction holomorphes. Les trois types de singularités. 10. Séries complexes Convergence et convergence absolue. Series de puissances et leur convergence dans un disque. Les séries de puissances convergent absolument, définissent des fonctions holomorphes et peuvent se dériver terme à terme. 11. Développement en série de Taylor
Cours 6 (25.03) Rayon de validité du développement en série de Taylor et rayon de convergence. 12. Séries de Laurent.
Cours 7 (01.04) Séries de Laurent dans des couronnes imbriquées. 13. Calcul des résidus Définition des résidus et théorème des résidus. Cinq techniques de calcul des résidus.
Cours 8 (08.04) 14. Calcul d'intégrales Le cas d'une fonction de sin et cos sur un intervalle de longueur 2 pi. Le cas d'une fraction rationnelle. Le cas d'une fraction rationnelle multipliée par une exponentielle.
Cours 9 (15.04) Fin du cas d'une fraction rationnelle multipliée par une exponentielle. Cas d'une fraction rationnelle multipliée par une puissance dont l'exposant est un réel dans ]0,1[. Partie II: Application 15. Transformée de Laplace 15.1 L'espace des fonctions L1 et Nu1 Fonctions continues par morceaux et fonctions absolument intégrables. 15.2 Définitions et propriétés de la transformée de Laplace 15.3 La transformée invrese
Cours 10 (06.05) 16. Équation de Laplace Motivations. Discussion des méthodes pour différents domaines. Laplace sur le disque via l'analyse complexe. Théorème de la moyenne d'une fonction holomorphe. Digression: formule de changement de variable pour l'intégration complexe le long d'une courbe. Noyau de Poisson. Généralisation au cas d'une condition de bord non continue.
Cours 11 (13.05) Séance de réponses aux questions: compétences clés, calcul de l'ordre d'un pôle, séance 5 exercice 3, la transformée de Fourier de 1/(1+x^2), combinaison linéaire de solutions d'EDP linéaires, formule d'inversion de la transformée de Laplace.
Cours 12 (20.05) 17. Solution approchée des EDO Notion de point ordinaire, point singulier régulier et point singulier irrégulier. Solution sous forme de série de puissance et sous forme de Frobenius. Classification du point à l'infini. Relations asymptotique et construction de solution autour d'un point singulier irrégulier.

Exercices

Exercices Corrigés

Voici un document qui reprend quelques propositions utiles vues en exercices.

Examen

L'examen de l'année passée est disponible ici.

Bibliographie